ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN:

Ratio: 5 / 5

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ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN: Es el que se puede expresar como cociente de dos números enteros. El término "racional" hace referencia a una "ración" o parte de un todo; el conjunto de los números racionales se designan con "Q" por "quotient" que significa "cociente" en varios idiomas europeos.

El conjunto Q de los números racionales está compuesto por los números enteros y por los fraccionarios. Los números enteros son racionales, pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad: a = a/1. Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios. Se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir (salvo por cero) y el resultado de todas esas operaciones entre dos números racionales es siempre otro número racional. Así como en el conjunto Z de los números enteros cada número tiene un siguiente (el siguiente al 7 es el 8, el siguiente al -5 es el -4), no pasa lo mismo con los racionales, pues entre cada dos números racionales existen infinitos números. Los números racionales sirven para expresar medidas, ya que al comparar una cantidad con su unidad el resultado es, frecuentemente, fraccionario. Operaciones con fracciones ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN: Procedemos según sea el caso de los denominadores. Cabe destacar que los enteros pueden ser positivos o negativos así que debe recordarse la Ley de los signos. Signos iguales se suman y se coloca el mismo signo + + = + ; - - = - Signos diferentes se restan y se coloca el signo del mayor + - = - ; - + = - IGUAL DENOMINADOR: Para sumar fracciones con igual denominador, se suman los denominadores y se deja el mismo denominador. En general: Ejemplo: DISTINTO DENOMINADOR: Para esto de buscan dos fracciones equivalentes de los dados que tengan el mismo denominador, después se suman dichas fracciones equivalentes. Método de las cruces: El numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción, el numerador de la segunda fracción por el denominador de la primera fracción, luego el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción. a + c b d a x d + b x c b x d Siendo b y d?O Ejemplo: División de números racionales. La división de números racionales se define como la multiplicación del dividendo por el recíproco del divisor. (que son números racionales) Ejemplo: Potenciación y Propiedades: La potenciación es una expresión matemática que incluye dos términos denominados: base a y exponente n. Se escribe an, y se lee: «a elevado a n». Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente: • Cuando el exponente es un número natural, equivale a multiplicar un número por sí mismo varias veces: el exponente determina la cantidad de veces. Por ejemplo: . • cuando el exponente es un número entero negativo, equivale a la fracción inversa de la base pero con exponente positivo. • cuando el exponente es una fracción irreducible n/m, equivale a una raíz: Cualquier número elevado a 0 equivale a 1, excepto el caso particular de 00 que, en principio, no está definido (ver cero). La definición de potenciación puede extenderse a exponentes reales, complejos o incluso matriciales. Propiedades de la potenciación Potencia de exponente 0 Un número (distinto de 0) elevado al exponente 0 da como resultado la unidad (1), puesto que: Potencia de exponente 1 Toda potencia de exponente 1 es igual a la base: Ejemplo: Potencia de exponente negativo Un número elevado a un exponente negativo, es igual al inverso de la misma expresión pero con exponente positivo: Multiplicación de potencias de igual base El producto de dos o más potencias de igual base es igual a la base elevada a la suma de los correspondientes exponentes (la misma base y se suman los exponentes): Ejemplos: División de potencias de igual base La división de dos potencias de igual base es igual a la base elevada a la resta de los exponentes respectivos: Ejemplo: Potencia de un producto La potencia de un producto es igual al producto de los factores elevados cada uno al exponente de dicha potencia. Es decir, una potencia de base a.b y de exponente n, es igual al factor a elevado a n, multiplicado por el factor b también elevado a n: Potencia de una potencia La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes): Debido a esto, la notación se reserva para significar ya que se puede escribir sencillamente como . Propiedad distributiva La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división: Propiedades que no cumple la potenciación No es distributiva con respecto a la adición y sustracción: No cumple la propiedad conmutativa, exceptuando aquellos casos en que base y exponente tienen el mismo valor o son equivalentes. En general: Tampoco cumple la propiedad asociativa: Potencia de base 10 En las potencias con base 10, el resultado será la unidad desplazada tantas posiciones como indique el valor absoluto del exponente: hacia la izquierda si el exponente es positivo, o hacia la derecha si el exponente es negativo. Ejemplos: Potencia de números complejos Artículo principal: Fórmula de De Moivre Para cualquiera de los números reales se tiene la identidad: Representación gráfica Gráfico de . Gráfico de . La representación gráfica de una potencia par tiene la forma de una parábola. Su vértice se sitúa en el punto (0, 0), es decreciente en el segundo cuadrante y creciente en el primero. La representación gráfica de una potencia impar son dos ramas de parábola. Tiene un punto de inflexión en el vértice (0, 0), es siempre creciente, y ocupa el tercer y primer cuadrante. Dichas curvas son continuas y derivables para todos los reales. Límites 00 El caso especial 00 se considera indefinido y dependiendo del contexto pueden ser asignados distintos valores dependiendo de las propiedades específicas que se quieran mantener. Por ejemplo, puede argumentarse que 00 es el igual al valor del límite y como x0 = 1 para , dicho valor podría ser igual a 1. Sin embargo también puede considerarse dicha expresión como el valor del límite y como 0x = 0 para , dicho valor podría ser igual a 0. Esto ilustra que la forma 00 puede corresponde a diferentes valores y por ello se considera indefinida. El debate sobre el valor de la forma 00 tiene casi 2 siglos de antigüedad. Durante los primeros días del análisis matemático en que el fundamento formal del cálculo no se había establecido, era común aceptar que 00=1. Sin embargo, en 1821 cuando Cauchy publica el Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique estableciendo el primer tratamiento riguroso del análisis, lista dicha forma en una tabla de formas indefinidas junto a otras como 0/0. En los años 1830, Libri[1] [2] publicó un argumento para asignar 1 como valor de 00 y August Möbius[3] lo apoyó afirmando erróneamente que siempre que Sin embargo un comentarista que firmó simplemente como «S» proporcionó un contraejemplo cuyo límite cuando es 1 / e, lo cual calmó el debate con la aparente conclusión del incidente que 00 debería permanecer indefinida. Se pueden encontrar más detalles en Knuth (1992) En la actualidad, suele considerarse la forma 00 como indefinida y no se le asigna valor si no se tiene un contexto en el cual el valor asignado tenga sentido Expresión decimal limitada e Ilimitada Las expresiones decimales limitadas son aquellas fracciones cuyos denominadores son potencias de 10 Su fracción generatriz se forma poniendo de numerador las cifras prescindiendo de la coma; y de denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales haya. Ej:0,5= 5/10 ; 0,75=75/10=3/4 • Las expresiones decimales ilimitadas pueden ser de 2 clases: _Periódicas puras: Cuando sus infinitas cifras decimales se repiten en un grupo de cifras llamado periodo inmediatamente después de la coma. Su fracción generatriz se forma poniendo de numerador la parte entera, seguida de la parte decimal periódica prescindiendo de la coma, menos la parte entera; y de denominador tantos nueves como cifras tenga el periodo Ej:1,666...=1,"6" ---> (16-1) / 9 = 15 / 9 *"6"= significa periodico en 6 _ Periódicas mixtas: Cuando tienen una parte decimal limitada no periódica y a continuación infinitas cifras decimales que se repiten formando un periodo. Su fracción generatriz se forma poniendo de numerador la parte entera, seguida de la parte decimal no periódica, seguida de la parte decimal periódica (prescindiendo de la coma), menos la parte entera seguida de la parte decimal no Periódica; y de denominador tantos nueves como cifras tenga el periodo seguidos de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no periódica. Ej: 7,23444... = 7,23"4" = (7234- 723) /900 = 6511/900 "4"= periodico en 4. Fracción generatriz Un número decimal exacto o periódico puede expresarse en forma de fracción, llamada fracción generatriz, de las formas que indicamos: Pasar de decimal exacto a fracción Si la fracción es decimal exacta, la fracción tiene como numerador el número dado sin la coma, y por denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga. Pasar de periódico puro a fracción generatriz Si la fracción es periódica pura, la fracción generatriz tiene como numerador el número dado sin la coma, menos la parte entera, y por denominador un número formado por tantos nueves como cifras tenga el período. Pasar de periódico mixto a fracción generatriz Si la fracción es periódica mixta, la fracción generatriz tiene como numerador el número dado sin la coma, menos la parte entera seguida de las cifras decimales no periódicas, y por denominador, un numero formado por tantos nueves como cifras tenga el período, seguidos de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no periódica. Teorema de Pitágoras Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los dos catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto). Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la medida de la hipotenusa es , se establece que: (1) De la ecuación (1) se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica: Pitágoras ( c²=a²+b² ) – Fórmulas prácticas Números irracionales (Q’) Un número irracional es un decimal infinito, cuya parte decimal no posee periodo, es decir, no puede ser representado como racional. Ejemplos: Todas las raíces inexactas son números irracionales. Como los números irracionales no pueden ser representados como cuocientes de números enteros (ya que no son racionales), no es posible escribir explícitamente su forma decimal, pero sí tienen la importante propiedad de poder ser aproximados con el grado de precisión que se necesite. La resta y el producto de números irracionales puede no ser un número irracional. Por Ejemplo: Aproximación por defecto y por exceso Aproximar un número a ciertas cifras decimales consiste en encontrar un número con las cifras pedidas que esté muy próximo al número dado. Aproximación por defecto, buscamos el número con un determinado número de cifras que es inmediatamente menor que el dado. Aproximación por exceso, es el número con las cifras decimales fijadas inmediatemente mayor. Por ejemplo, dado el número 1.3456 vamos a aproximarlo con dos cifras decimales: a) por defecto es 1.34 b) por exceso es 1.35 Al dar la aproximación en lugar del número se comete un error, en el ejemplo anterior los errores que se cometen son: a) | 1.3456 - 1.34 | = 0.0056 b) 1.3456 - 1.35 | = 0.0044 Redondear un número consiste en dar la mejor de las aproximaciones, es decir, aquella con la que se comente un error menor, en nuestro caso si redondeamos 1.3456 a dos cifras decimales, el redondeo será 1.35. Raíz enésima de un número La raíz enésima de un número a es igual a "b", es decir Donde "n" se llama indice, "a" se denomina radicando, y "b" es el resultado de la raiz Casos de raíz enésima 1- Índice par y radicando positivo El resultado de la raíz puede ser tanto positivo como negativo ejemplo. • = ± 4 • = ± 4 2- Índice impar y radicando negativo Raíz Cuadrada En las ciencias matemáticas, se llama raíz cuadrada de un número (a veces abreviada como raíz a secas) a aquel otro que siendo mayor o igual que cero, elevado al cuadrado, es igual al primero. La raíz cuadrada de x se expresa: o bien: es porque: Por ejemplo: ya que Las raíces cuadradas fueron uno de los primeros desarrollos de las matemáticas, siendo particularmente investigadas durante el periodo pitagórico, cuando el descubrimiento de que la raíz cuadrada de 2 era irracional (inconmensurable) o no expresable como cociente alguno, lo que supuso un hito en la matemática de la época. Posteriormente se fue ampliando la definición de raíz cuadrada. Para los números reales negativos, la generalización de la función raíz cuadrada de éstos da lugar al concepto de los números imaginarios y al cuerpo de los números complejos, algo necesario para que cualquier polinomio tenga todas sus raíces (teorema fundamental del álgebra). La diagonalización de matrices también permite el cálculo rápido de la raíz de una matriz. Inicialmente mostraron su utilidad para la resolución de problemas trigonométricos y geométricos, como la diagonal de un cuadrado o el teorema de Pitágoras. Posteriormente fueron ganando utilidad para operar con polinomios y resolver ecuaciones de segundo grado o superior, siendo una de las herramientas matemáticas más elementales hoy en día. Raíz Cubica En matemáticas, la raíz cúbica de un número (expresada o ), es el valor numérico tal que, al ser al multiplicado tres veces por sí mismo, da como resultado . Por ejemplo, la raíz cúbica de 27 es 3, ya que . En general, un número real posee tres raíces cúbicas, una correspondiente a un número real, y las otras dos a números complejos. Así, las raíces cúbicas de 8 son: La operación de calcular la raíz cúbica de un número es una operación asociativa con la potenciación y distributiva con la multiplicación y división, pero no es asociativa o distributiva con la suma o la resta. Definición Formal Las raíces cúbicas de un número x son números y que satisfacen la ecuación Números reales Si x e y son reales, entonces existe una única solución tal que la ecuación tiene además una única solución, y ésta corresponde a un número real. Si se emplea esta definición, la raíz cúbica de un número negativo es también un número negativo. De esta forma el principio de la raíz cúbica de x es representada igualmente por: Si x e y son ambos complejos, entonces se puede decir que posee tres soluciones (si x es no nulo) y así x tiene tres raíces cúbicas: una raíz real y dos complejas, en la forma de par conjugado. Este hecho deja interesantes resultados dentro de las matemáticas. Por ejemplo, las raíces del número uno son: Estas dos raíces se relacionan con todas las otras raíces cúbicas de otros números. Si un número es raíz cúbica de un número real las raíces cúbicas pueden ser calculadas multiplicando el número por las raíces de la raíz cúbica de uno.

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